Question

1．如圖，已知∠AOB=30°，以O(shè)為圓心、a為半徑畫弧交OA、OB于A₁、B₁，再分別以A₁、B₁為圓心、a為半徑畫弧交于點C₁，以上稱為一次操作．再以C₁為圓心a為半徑重新操作，得到C₂．重復(fù)以上步驟操作，記最后一個兩弧的交點（離點O最遠(yuǎn)）為C_K，則點C_K到射線OB的距離為（　　）

• A． $\frac{a}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$a
• C． a
• D． $\sqrt{3}$a

Answer 1

分析 根據(jù)作圖分別作出C₁、C₂、C₃，由作圖可知OB₁=B₁C₁=B₂C₁=B₂C₂=B₃C₂=B₃C₃=a且∠BOC₁=$\frac{1}{2}$∠AOB=15°，利用等邊對等角和三角形外角性質(zhì)得出∠B₁OC₁=∠B₁C₁O=15°、∠B₁B₂C₁=∠B₂B₁C₁=30°、∠B₂C₂C₁=∠B₂C₁C₂=45°、∠B₂B₃C₂=∠B₃B₂C₂=60°、∠B₃C₃C₂=∠B₃C₂C₃=75°，利用內(nèi)角和定理知∠C₃B₃C₂=30°，從而得∠C₃B₃O=∠C₃B₃C₂+∠B₂B₃C₂=90°，即C₃B₃⊥OB，即最后一個兩弧的交點為C₃，從而得出答案．

解答 解：如圖所示，

由作圖可知OB₁=B₁C₁=B₂C₁=B₂C₂=B₃C₂=B₃C₃=a，且∠BOC₁=$\frac{1}{2}$∠AOB=15°，
∴∠B₁OC₁=∠B₁C₁O=15°，
∴∠B₁B₂C₁=∠B₂B₁C₁=∠B₁OC₁+∠B₁C₁O=30°，
∴∠B₂C₂C₁=∠B₂C₁C₂=∠B₁OC₁+∠B₁B₂C₁=45°，
∴∠B₂B₃C₂=∠B₃B₂C₂=∠B₁OC₁+∠B₂C₂C₁=60°，
∠B₃C₃C₂=∠B₃C₂C₃=∠B₁OC₁+∠B₂B₃C₂=75°，
則∠C₃B₃C₂=180°-（∠B₃C₃C₂+∠B₃C₂C₃）=30°，
∴∠C₃B₃O=∠C₃B₃C₂+∠B₂B₃C₂=90°，即C₃B₃⊥OB，
∴最后一個兩弧的交點C₃到射線OB的距離為C₃B₃=a，
故選：C．

點評 本題主要考查角平分線的基本作圖，熟練掌握角平分線的基本作圖和等邊對等角、三角形的外角性質(zhì)、內(nèi)角和定理及垂直的定義是解題的關(guān)鍵．