Question

6．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)B作BF∥DE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：AC=CG；
（2）若點(diǎn)P是直線BG上的一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使△BCP與△BCD相似．

Answer 1

分析 （1）利用平行分線段成比例定理即可證明．
（2）分兩種情形討論①如圖1中，若∠CDB=∠CPB，②如圖2中，若∠PCB=∠CDB，分別求解即可．

解答 證明：∵BF∥DE，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{AC}{CG}$，
∵AD=BD，
∴AC=CG．
（2）解：當(dāng)PB=5或$\frac{64}{5}$時(shí)，△BCP與△BCD相似；
在△ABC和△GBC中：
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CG}\\{∠ACB=∠GCB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△GBC（SAS），
∴AB=BG
∴∠DBC=∠CBP，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴CD=5，
∵∠DBC=∠CBP，
第一種情況：若∠DCB=∠BCP，如圖1：
在△BCP與△BCD中
∠DCB=∠BCP，
BC=BC，
∠DBC=∠CBP，
∴△BCP≌△BCD（ASA），
∴BP=CD=5；
第二種情況：若∠PCB=∠DCB，如圖2：
∵∠CBD=∠CBP，
∴△BPC∽△BCD，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{BP}$，
∴BP=$\frac{64}{5}$，
綜上所述：當(dāng)PB=5或$\frac{64}{5}$時(shí)，△BCP與△BCD相似．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊中線定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解，屬于中考�？碱}型．