Question

17．閱讀理解題：
學(xué)習(xí)了二次根式后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一些含有根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²，我們來進(jìn)行以下的探索：
設(shè)a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）²（其中a，b，m，n都是正整數(shù)），則有a+b$\sqrt{2}$=m²+2n²+2mn$\sqrt{2}$，∴a=m+2n²，b=2mn
，這樣就得出了把類似a+b$\sqrt{2}$的式子化為平方式的方法．
請(qǐng)仿照上述方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)a，b，m，n都為正整數(shù)時(shí)，若a-b$\sqrt{5}$=（m-n$\sqrt{5}$）²，用含m，n的式子分別表示a，b，得a=m²+5n²，b=2mn；
（2）利用上述方法，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：9-4$\sqrt{5}$=（2-1$\sqrt{5}$）²
（3）a-4$\sqrt{5}$=（m-n$\sqrt{5}$）²且a，m，n都為正整數(shù)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式把（m-n$\sqrt{5}$）²展開即可得到用含m，n的式子分別表示出a，b；
（2）利用（1）中的表達(dá)式，令m=2，n=1，則可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的a和b的值；
（3）利用（1）的結(jié)果得到2mn=4，則mn=2，再利用m，n都為正整數(shù)得到m=2，n=1或m=1，n=2，然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的a的值即可．

解答 解：（1）∵a-b$\sqrt{5}$=（m-n$\sqrt{5}$）²，
∴a-b$\sqrt{5}$=m²-2$\sqrt{5}$mn+5n²，
∴a=m²+5n²，n=2mn；
（2）取m=2，n=1，
則a=4+5=9，b=4；
（3）∵2mn=4，
∴mn=2，
而m，n都為正整數(shù)，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
當(dāng)m=2，n=1時(shí)，a=9；
當(dāng)m=1，n=2時(shí)，a=21．
即a的值為9或21．
故答案為m²+5n²，2mn；9，4，2，1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．