Question

如圖，拋物線交軸于A、B兩點（A點在B點左側），交軸于點C，已知B（8，0），，△ABC的面積為8.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動直線EF（EF∥軸）從點C開始，以每秒1個長度單位的速度沿軸負方向平移，且交軸、線段BC于E、F兩點，動點P同時從點B出發(fā)，在線段OB上以每秒2個單位的速度向原點O運動。連結FP，設運動時間秒。當為何值時，的值最大，并求出最大值；

（3）在滿足（2）的條件下，是否存在的值，使以P、B、F為頂點的三角形與△ABC相似。若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）由題意知 ∠COB = 90°B(8，0)  OB=8 在Rt△OBC中tan∠ABC =   

OC= OB×tan∠ABC = 8×=4 ∴C(0,4) 

       ∴AB = 4  A(4,0)

把A、B、C三點的坐標帶入得 解得  

所以拋物線的解析式為。

（2）C ( 0, 4 )  B ( 8, 0 )  E ( 0, 4-t ) ( t > 0)

 OC = 4  OB = 8  CE = t  BP=2t  OP =8-2t 

∵EF // OB ∴△CEF ～△COB

∴  則有     得 EF = 2t

 =

  當t=2時 有最大值2.  

（3）存在符合條件的t值，使△PBF與△ABC相似。

C ( 0, 4 )  B ( 8, 0 )  E ( 0, 4-t )  F(2t , 4 - t )  P ( 8-2t , 0 ) ( t > 0)

    AB = 4   BP=2t  BF =

 ∵ OC = 4  OB = 8  ∴BC =  

①當點P與A、F與C對應   則，代入得    解得   

②當點P與C、F與A對應   則，代入得   解得 （不合題意，舍去）

綜上所述：符合條件的和。