Question

8．如圖，已知A、B兩點的坐標(biāo)分別為A（0，2$\sqrt{3}$）B（-2，0），直線AB與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于點C和點D（1，a）
（1）求直線AB和反比例函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求∠ACO的度數(shù)；
（3）將△OBC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），得到△OB₁C₁，當(dāng)α為多少度時OC₁⊥AB，并求此時線段AB₁的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將A與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線AB的解析式，將D坐標(biāo)代入直線AB解析式中求出a的值，確定出D的坐標(biāo)，將D坐標(biāo)代入反比例解析式中求出m的值，即可確定出反比例解析式；
（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出C坐標(biāo)，過C作CH垂直于x軸，在直角三角形OCH中，由OH與HC的長求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠COH的度數(shù)，在三角形AOB中，由OA與OB的長求出tan∠ABO的值，進(jìn)而求出∠ABO的度數(shù)，由∠ABO-∠COH即可求出∠ACO的度數(shù)．
（3）過點B₁作B₁G⊥x軸于點G，先求得∠OCB=30°，進(jìn)而求得α=∠COC₁=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出∠BOB₁=α=60°，解直角三角形求得B₁的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理即可求得AB₁的長．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（0，2$\sqrt{3}$），B（-2，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
故直線AB解析式為y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
將D（1，a）代入直線AB解析式得：a=3$\sqrt{3}$，
則D（1，3$\sqrt{3}$），
將D坐標(biāo)代入y=$\frac{m}{x}$中，得：m=3$\sqrt{3}$，
則反比例解析式為y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$；

（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3}\\{{y}_{1}=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則C坐標(biāo)為（-3，-$\sqrt{3}$），
過點C作CH⊥x軸于點H，
在Rt△OHC中，CH=$\sqrt{3}$，OH=3，
tan∠COH=$\frac{CH}{OH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∠COH=30°，
在Rt△AOB中，tan∠ABO=$\frac{AO}{OB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∠ABO=60°，
∠ACO=∠ABO-∠COH=30°；

（3）過點B₁作B₁G⊥x軸于點G，
∵∠ABO=60°，∠COH=30°，
∴∠OCB=30°，
∵OC₁⊥AB，
∴∠COC₁=60°，
∴α=60°．
∴∠BOB₁=60°，
∵OB₁=OB=2，
∴OG=1，B₁G=$\sqrt{3}$，
∴B₁（-1，$\sqrt{3}$），
∴AB₁=$\sqrt{（-1）^{1}+（2\sqrt{3}-\sqrt{3}）^{2}}$=2．

點評 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與x軸的交點，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．