Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（-2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點．若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）如圖①，當(dāng)α=90°時，求AE′，BF′的長；
（2）如圖②，當(dāng)α=135°時，求證：AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（3）直線AE′與直線BF′相交于點P，當(dāng)點P在坐標(biāo)軸上時，分別表示出此時點E′、D′、F′的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長．
（2）運用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問題；
（3）直線AE′與直線BF′相交于點P，當(dāng)點P在坐標(biāo)軸上時，α=180°，P與O重合，易求出點E′、D′、F′的坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)α=90°時，點E′與點F重合，如圖①．
∵點A（-2，0）點B（0，2），
∴OA=OB=2，
∵點E，點F分別為OA，OB的中點，
∴OE=OF=1，
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，
∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．
在Rt△AE′O中，
AE′=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
在Rt△BOF′中，
BF′=$\sqrt{O{B}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴AE′，BF′的長都等于$\sqrt{5}$；
（2）當(dāng)α=135°時，如圖②．
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°．
在△AOE′和△BOF′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOE′=∠BOF′}\\{OE′=OF′}\end{array}\right.$，
∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．
∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，
∴∠CPB=∠AOC=90°，
∴AE′⊥BF′；
（3）點E′（1，0）、D′（1，-1）、F′（0，-1）
如圖③，直線AE′與直線BF′相交于點P，當(dāng)點P在坐標(biāo)軸上時，α=180°，P與O重合，
∵OE′=OF′=1，
∴點E′（1，0）、D′（1，-1）、F′（0，-1）．

點評 本題是在圖形旋轉(zhuǎn)過程中，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的外角性質(zhì)等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．