Question

5．如圖，頂點(diǎn)為A（-4，4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），點(diǎn)P在該圖象上，OP交其對稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)A對稱，連接PN，ON．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-6，3），求△OPN的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸l左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動時，請解答下面問題：
①求證：∠PNM=∠ONM；
②若△OPN為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)的關(guān)系式，再很據(jù)二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求出a的值，即可得出二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)直線OP的解析式為y=kx，將A點(diǎn)代入，求出直線OP的解析式，再把x=-4代入y=-$\frac{1}{2}$x，求出M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱，求出N的坐標(biāo)，從而得出MN的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．
（3）①設(shè)對稱軸l交x軸于點(diǎn)B，作PC⊥l于點(diǎn)C，由P在二次函數(shù)圖象上，設(shè)P$（t，-\frac{1}{4}{t^2}-2t）$，再由O的坐標(biāo)，表示出直線OP的解析式，進(jìn)而表示出M，N及H的坐標(biāo)，設(shè)對稱軸l交x軸于點(diǎn)B，作PC⊥l于點(diǎn)C，構(gòu)建相似三角形：△NCP∽△NBO．由相似三角形的對應(yīng)角相等證得結(jié)論；
②△OPN能為直角三角形，理由為：分三種情況考慮：若∠ONP為直角，由①得到∠PNM=∠ONM=45°，可得出三角形ACN為等腰直角三角形，得到PC=CN，將表示出的PC及CN代入，得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值為0或4±$\sqrt{2}$，進(jìn)而得到此時A與P重合，不合題意，故∠ONP不能為直角；若∠PON為直角，利用勾股定理得到OP²+ON²=PN²，由P的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出OP²，由OB及BN，利用勾股定理表示出ON²，由PC及CN，利用勾股定理表示出PN²，代入OP²+ON²=PN²，得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值為4±4$\sqrt{2}$或0，然后判斷∠PON是否為直角；若∠NPO為直角，則有△PMN∽△BMO∽△BON，由相似得比例，將各自的值代入得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值為4，此時A與P重合，故∠NPO不能為直角，綜上，點(diǎn)P在對稱軸l左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動時，△OPN不能為直角三角形．

解答 （1）解：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x+4）²+4，
把點(diǎn)（0，0）代入表達(dá)式，解得$a=-\frac{1}{4}$．
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為$y=-\frac{1}{4}{（x+4）^2}+4$，
即$y=-\frac{1}{4}{x^2}-2x$；

（2）解：設(shè)直線OP為y=kx（k≠0），
將P（-6，3）代入y=kx，解得$k=-\frac{1}{2}$，
∴$y=-\frac{1}{2}x$．
當(dāng)x=-4時，y=2．
∴M（-4，2）．
∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)A對稱，
∴N（-4，6）．
∴MN=4．
∴S_△PON=S_△OMN+S_△PMN=12；

（3）①證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（t，-\frac{1}{4}{t^2}-2t）$，
其中t＜-4，
設(shè)直線OP為y=k′x（k′≠0），
將P$（t，-\frac{1}{4}{t^2}-2t）$代入y=k′x，解得$k'=-\frac{t+8}{4}$．
∴$y=-\frac{t+8}{4}x$．
當(dāng)x=-4時，y=t+8．
∴M（-4，t+8）．
∴AN=AM=4-（t+8）=-t-4．
設(shè)對稱軸l交x軸于點(diǎn)B，作PC⊥l于點(diǎn)C，
則B（-4，0），C$（-4，-\frac{1}{4}{t^2}-2t）$．
∴OB=4，NB=4+（-t-4）=-t，PC=-4-t，
NC=$-t-（-\frac{1}{4}{t^2}-2t）$=$\frac{1}{4}{t^2}+t$．
則$\frac{NC}{PC}=\frac{{\frac{1}{4}{t^2}+t}}{-4-t}=-\frac{t}{4}$，$\frac{NB}{OB}=\frac{-t}{4}=-\frac{t}{4}$．
∴$\frac{NC}{PC}=\frac{NB}{OB}$．
又∵∠NCP=∠NBO=90°，
∴△NCP∽△NBO．
∴∠PNM=∠ONM．
②△OPN能為直角三角形，理由如下：
解：分三種情況考慮：
（i）若∠ONP為直角，由①得：∠PNM=∠ONM=45°，
∴△PCN為等腰直角三角形，
∴CP=NC，即m-4=$\frac{1}{4}$m²-m，
整理得：m²-8m+16=0，即（m-4）²=0，
解得：m=4，
此時點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，故不存在P點(diǎn)使△OPN為直角三角形；
（ii）若∠PON為直角，根據(jù)勾股定理得：OP²+ON²=PN²，
∵OP²=m²+（-$\frac{1}{4}$m²-2m）²，ON²=4²+m²，AN²=（m-4）²+（-$\frac{1}{4}$m²-2m+m）²，
∴m²+（-$\frac{1}{4}$m²-2m）²+4²+m²=（m-4）²+（-$\frac{1}{4}$m²-2m+m）²，
整理得：m（m²-8m-16）=0，
解得：m=0或m=-4-4$\sqrt{2}$或-4+4$\sqrt{2}$（舍去），
當(dāng)m=0時，P點(diǎn)與原點(diǎn)重合，故∠PON不能為直角，
當(dāng)m=-4-4$\sqrt{2}$，即P（-4-4$\sqrt{2}$，4）時，N為第四象限點(diǎn)，成立，故∠PON能為直角；
（iii）若∠NPO為直角，可得∠NPM=∠OBM=90°，且∠PMN=∠BMO，
∴△PMN∽△BMO，
又∵∠MPN=∠OBN=90°，且∠PNM=∠OND，
∴△PMN∽△BON，
∴△PMN∽△BMO∽△BON，
∴$\frac{MB}{OB}$=$\frac{OB}{NB}$，即$\frac{8-m}{4}$=$\frac{4}{m}$，
整理得：（m-4）²=0，
解得：m=4，
此時A與P重合，故∠NPO不能為直角，
綜上，點(diǎn)P在對稱軸l左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動時，△OPN能為直角三角形，當(dāng)m=4+4$\sqrt{2}$，即P（$-4-4\sqrt{2}，-4$）時，N為第四象限的點(diǎn)成立．

點(diǎn)評 此題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)坐標(biāo)確定一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，本題（3）中的第②小問利用的是反證法，先假設(shè)結(jié)論成立，利用邏輯推理的方法得出與已知條件，定理，公理矛盾，可得出假設(shè)錯誤，原結(jié)論不成立．