Question

9．（1）若P為x軸上一動點，A（2，2），B（4，4），求PA+PB最小值？
（2）若P為半徑為1的⊙O上一動點，O（0，0），A（2，2），B（4，4），求PA+PB的最小值？

Answer 1

分析 （1）作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，當點A′、P、B在一條直線上時，PA+PB有最小值，利用兩點間的距離公式求得A′B的距離即可；
（2）先求得OA、OB的長度，然后根據(jù)PA+PB=OA+OB-2OP計算即可．

解答 解：（1）如圖1所示；作點A關(guān)于x軸的對稱點A′．

由軸對稱的性質(zhì)可知點A′的坐標為（2，-2），
∵PA+PB=PA′+PB．
當點A′、P、B在一條直線上時，PA+PB有最小值．
由兩點間的距離公式得：A′B=$\sqrt{（4-2）^{2}+（4+2）^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
∴PA+PB的最小值為2$\sqrt{10}$．
（2）如圖2所示：當點A、B、P在一條直線上時，PA+PB有最小值．

由兩點之間的距離公式得：OA=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
AP+PB=OA+OB-2OP=6$\sqrt{2}$-2．
∴PA+PB的最小值為6$\sqrt{2}-2$．

點評 本題主要考查的是軸對稱--最短路徑問題，明確PA+PB有最小值的條件是解題的關(guān)鍵．