Question

1．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在AF的延長(zhǎng)線上截取FG=BD，連接BG、DF．
（1）證明：四邊形BDFG是菱形；
（2）若AC=10，CF=6，求線段AG的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）首先可判斷四邊形BDFG是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD=FD，則可判斷四邊形BDFG是菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)求得GF=DF=$\frac{1}{2}$AC=5，由勾股定理得AF的長(zhǎng)，繼而求得AG的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四邊形BGFD是平行四邊形，
∵CE⊥BD
∴CE⊥AG，
又∵BD為AC的中線，
∴BD=DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴四邊形BDFG是菱形；

（2）解：∵四邊形BDFG是菱形，∠ABC=90°，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，
∴GF=DF=$\frac{1}{2}$AC=5，
∵CF⊥AG，
∴AF=$\sqrt{{AC}^{2}{-CF}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}{-6}^{2}}$=8，
∴AG=AF+GF=8+5=13．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)以及勾股定理，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關(guān)鍵．