Question

17．如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，P為AD上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分別為M、N，若AB=m，BC=n，則PM+PN=（　�。�

• A． $\frac{m+n}{2}$
• B． $\frac{mn}{m+n}$
• C． $\frac{mn}{{\sqrt{m_{\;}^2+{n^2}}}}$
• D． $\frac{n}{m}$

Answer 1

分析 連接OP，由矩形的性質(zhì)得出OA=OD，∠ABC=90°，由勾股定理求出AC，得出OA，由△OAP的面積+△ODP的面積=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面積，即可得出結(jié)果．

解答 解：連接OP，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OD，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴OA=OD=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{2}$，
∵△OAP的面積+△ODP的面積=△AOD的面積=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面積，
即$\frac{1}{2}$OA•PM+$\frac{1}{2}$OD•PN=$\frac{1}{2}$OA（PM+PN）=$\frac{1}{4}$AB•BC=$\frac{1}{4}$mn，
∴PM+PN=$\frac{mn}{2OA}$=$\frac{mn}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．