Question

10．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）和點(diǎn)E，動點(diǎn)C從原點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點(diǎn)D從點(diǎn)B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點(diǎn)C、D同時(shí)出發(fā)，當(dāng)動點(diǎn)D到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C、D停止運(yùn)動．
（1）直接寫出拋物線的解析式：y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8；
（2）求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時(shí)，△CED的面積最大？最大面積是多少？
（3）當(dāng)△CED的面積最大時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8；
（2）根據(jù)題意得：當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動t秒時(shí)，BD=t，OC=t，然后由點(diǎn)A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8-t，然后令y=0，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），進(jìn)而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間t的函數(shù)解析式為：S=-$\frac{1}{2}$t²+5t，然后轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出最值為：S_最大=$\frac{25}{2}$；
（3）由（2）知：當(dāng)t=5時(shí)，S_最大=$\frac{25}{2}$，進(jìn)而可知：當(dāng)t=5時(shí)，OC=5，OD=3，進(jìn)而可得CD=$\sqrt{34}$，從而確定C（0，5），D（3，0）然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為：y=-$\frac{5}{3}$x+5，然后過E點(diǎn)作EF∥CD，交拋物線與點(diǎn)P，然后求出直線EF的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組解得即可得到其中的一個點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用面積法求出點(diǎn)E到CD的距離為：$\frac{25\sqrt{34}}{34}$，然后過點(diǎn)D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=$\frac{25\sqrt{34}}{34}$，然后求出N的坐標(biāo)，然后過點(diǎn)N作NH∥CD，與拋物線交與點(diǎn)P，然后求出直線NH的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組求解即可得到其中的另兩個點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{-\frac{1}{2}×64+8b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=3，c=8，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8，
故答案為：y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8；
（2）∵點(diǎn)A（0，8）、B（8，0），
∴OA=8，OB=8，
令y=0，得：-$\frac{1}{2}$x²+3x+8=0，
解得：x₁=8，x₂=-2，
∵點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)E（-2，0），
∴OE=2，
根據(jù)題意得：當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動t秒時(shí)，BD=t，OC=t，
∴OD=8-t，
∴DE=OE+OD=10-t，
∴S=$\frac{1}{2}$•DE•OC=$\frac{1}{2}$•（10-t）•t=-$\frac{1}{2}$t²+5t，
即S=-$\frac{1}{2}$t²+5t=-$\frac{1}{2}$（t-5）²+$\frac{25}{2}$，
∴當(dāng)t=5時(shí)，S_最大=$\frac{25}{2}$；

（3）方法一：
由（2）知：當(dāng)t=5時(shí)，S_最大=$\frac{25}{2}$，
∴當(dāng)t=5時(shí)，OC=5，OD=3，
∴C（0，5），D（3，0），
由勾股定理得：CD=$\sqrt{34}$，
設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，
將C（0，5），D（3，0），代入上式得：
k=-$\frac{5}{3}$，b=5，
∴直線CD的解析式為：y=-$\frac{5}{3}$x+5，
過E點(diǎn)作EF∥CD，交拋物線與點(diǎn)P，如圖1，

設(shè)直線EF的解析式為：y=-$\frac{5}{3}$x+b，
將E（-2，0）代入得：b=-$\frac{10}{3}$，
∴直線EF的解析式為：y=-$\frac{5}{3}$x-$\frac{10}{3}$，
將y=-$\frac{5}{3}$x-$\frac{10}{3}$，與y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8聯(lián)立成方程組得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{3}x-\frac{10}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+3x+8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{34}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{200}{9}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{34}{3}$，-$\frac{200}{9}$）；
過點(diǎn)E作EG⊥CD，垂足為G，
∵當(dāng)t=5時(shí)，S_△ECD=$\frac{1}{2}•CD•EG$=$\frac{25}{2}$，
∴EG=$\frac{25\sqrt{34}}{34}$，
過點(diǎn)D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=$\frac{25\sqrt{34}}{34}$，過點(diǎn)N作NM⊥x軸，垂足為M，如圖2，

可得△EGD∽△DMN，
∴$\frac{EG}{DM}=\frac{ED}{DN}$，
即：$\frac{\frac{25\sqrt{34}}{34}}{DM}=\frac{5}{\frac{25\sqrt{34}}{34}}$，
解得：DM=$\frac{125}{34}$，
∴OM=$\frac{227}{34}$，
由勾股定理得：MN=$\sqrt{D{N}^{2}-D{M}^{2}}$=$\frac{75}{34}$，
∴N（$\frac{227}{34}$，$\frac{75}{34}$），
過點(diǎn)N作NH∥CD，與拋物線交與點(diǎn)P，如圖2，
設(shè)直線NH的解析式為：y=-$\frac{5}{3}$x+b，
將N（$\frac{227}{34}$，$\frac{75}{34}$），代入上式得：b=$\frac{40}{3}$，
∴直線NH的解析式為：y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{40}{3}$，
將y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{40}{3}$，與y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8聯(lián)立成方程組得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{3}x+\frac{40}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+3x+8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=8}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{4}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{100}{9}}\end{array}\right.$，
∴P（8，0）或P（$\frac{4}{3}$，$\frac{100}{9}$），
綜上所述：當(dāng)△CED的面積最大時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)P（點(diǎn)E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（$\frac{34}{3}$，-$\frac{200}{9}$）或P（8，0）或P（$\frac{4}{3}$，$\frac{100}{9}$）．

方法二：
由（2）知，C（0，5），D（3，0），∴l(xiāng)_CD：y=-$\frac{5}{3}$x+5，
作PH⊥x軸，交CD于點(diǎn)H，
∵P在拋物線上，∴設(shè)P（6m，-18m²+18m+8），
∴H（6m，-10m+5），C（0，5），D（3，0），
S_△PCD=$\frac{1}{2}$|（D_X-C_X）（P_Y-H_Y）|，
∵S_△CED=$\frac{25}{2}$，
∴$\frac{3}{2}×|-10m+5+18{m}^{2}-18m-8|=\frac{25}{2}$，
∴3×|18m²-28m-3|=25，
①3×（18m²-28m-3）=25，
∴m₁=-$\frac{1}{3}$，m₂=$\frac{17}{9}$，
∴6m₁=-2（舍），6m₂=$\frac{34}{3}$，
②3×（18m²-28m-3）=-25，
∴m₁=$\frac{4}{3}$，m₂=$\frac{2}{9}$，
∴6m₁=8，6m₂=$\frac{4}{3}$，
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（$\frac{34}{3}$，-$\frac{200}{9}$）或P（8，0）或P（$\frac{4}{3}$，$\frac{100}{9}$）．

點(diǎn)評 此題考查了二次函數(shù)的綜合題，主要涉及了以下知識點(diǎn)：用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)的最值問題，三角形的面積公式及用二元一次方程組求交點(diǎn)問題等．解決（3）用到的知識點(diǎn)是兩條平行線間的距離處處相等．