Question

9．觀察下列等式：
①1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，②$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，③$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，④$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{20}$，…
（1）按此規(guī)律完成第⑤個等式：（$\frac{1}{5}$）=（$\frac{1}{6}$）+（$\frac{1}{30}$）；
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明其正確性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第一個式子的左邊分母為1，第二個式子的左邊分母為2，…第五個式子的左邊分母為5；右邊第一個分數(shù)的分母為2，3，4，…第五個則為6，另一個分數(shù)的分母為前面兩個分母的乘積；所有的分子均為1；
（2）由（1）的規(guī)律發(fā)現(xiàn)第n個式子為$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n（n+1）}$，利用分式的加減證明即可．

解答 解：（1）∵1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，
$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，
$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{20}$，
…
∴$\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$；
故答案為：$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{30}$；

（2）由規(guī)律可得，
第n個等式（用含n的式子表示）為：$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$$+\frac{1}{n（n+1）}$，
∵右邊=$\frac{n}{n（n+1）}$$+\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n+1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$
∴左邊=右邊，
即$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$$+\frac{1}{n（n+1）}$．

點評 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，關鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中各分母的變化規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．