Question

9．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，將△BCE沿CE折疊至△FCE，若CF，CE恰好與以正方形ABCD的中心為圓心的⊙O相切，則折痕CE的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． $\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{5}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連結(jié)AC，如圖，由正方形的性質(zhì)得∠ACB=45°，再由折疊的性質(zhì)得∠ECB=∠ECF，接著根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AC平分∠ECF，則∠ECF=2∠ECA，所以∠ECB=2∠ECA，則利用∠ECB+∠ECA=45°可計(jì)算出∠ECB=30°，然后在Rt△BCE中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出CE．

解答 解：連結(jié)AC，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ACB=45°，
∵△BCE沿CE折疊至△FCE，
∴∠ECB=∠ECF，
∵CF，CE與以正方形ABCD的中心為圓心的⊙O相切，
∴AC平分∠ECF，
∴∠ECF=2∠ECA，
∴∠ECB=2∠ECA，
而∠ECB+∠ECA=45°，
∴∠ECB=30°，
在Rt△BEC，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=3$\sqrt{3}$，
∴CE=2BE=6$\sqrt{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了切線長(zhǎng)定理．