Question

17．等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D在AB邊上，且CD=$\sqrt{13}$．則tan∠BCD的值為$\frac{3\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為M．根據(jù)等邊三角形以及等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得出∠B=60°，AM=MB=$\frac{1}{2}$AB=2，利用三角函數(shù)求出CM=2$\sqrt{3}$．在Rt△CDM中利用勾股定理求出DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=1．再分兩種情況討論：①D在線(xiàn)段AM上；②D在線(xiàn)段BM上．過(guò)D作DN⊥BC于N，分別求出DN、CN的長(zhǎng)，再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出tan∠BCD的值．

解答 解：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為M，
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，
∴∠B=60°，AM=MB=$\frac{1}{2}$AB=2，CM=4×sin60°=2$\sqrt{3}$．
∵在Rt△CDM中，∠CMD=90°，CD=$\sqrt{13}$，CM=2$\sqrt{3}$，
∴DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=1．
分兩種情況討論：
①D在線(xiàn)段AM上時(shí)，如圖1，過(guò)D作DN⊥BC于N．此時(shí)BD=BM+DM=2+1=3，
在Rt△BDN中，∵BD=3，∠BND=90°，∠B=60°，
∴DN=BD•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，BN=BD•cos60°=$\frac{3}{2}$，
∴CN=BC-BN=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴tan∠BCD=$\frac{DN}{CN}$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$；
②D在線(xiàn)段BM上時(shí)，如圖2，過(guò)D作DN⊥BC于N．此時(shí)BD=BM-DM=2-1=1，
在Rt△BDN中，∵BD=1，∠BND=90°，∠B=60°，
∴DN=BD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BN=BD•cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴CN=BC-BN=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴tan∠BCD=$\frac{DN}{CN}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{7}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，利用數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．