Question

6．閱讀與思考：
   婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，書(shū)寫(xiě)了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)和天文學(xué)的書(shū)籍，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負(fù)數(shù)及加減法運(yùn)算僅晚于中國(guó)九章算術(shù)而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世界都是領(lǐng)先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內(nèi)容及部分證明如下：
    已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)M，ME⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EM交CD于點(diǎn)F，求證：F是AD中點(diǎn)
 證明∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°，同時(shí)∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF，∴AF=DF即F是AD中點(diǎn)．
請(qǐng)你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過(guò)程，完成婆羅摩笈多逆定理的證明：
（1）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)M，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，連接FM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求證：ME⊥BC．
（2）已知：如圖2，△ABC內(nèi)接于圓O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，點(diǎn)D在圓O上，∠BCD=60°，連接AD交BC于點(diǎn)P，作ON⊥CD于點(diǎn)N，連接并延長(zhǎng)NP交AB于點(diǎn)M，求證PM⊥BA并求PN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由于AC⊥BD，所以∠AMD=90°，∠FAM+∠FDM=90°，由于F是AD的中點(diǎn)，所以AF=MF=DF，從而可證明∠EMC+∠MCB=90°．
（2）由圓周角定理得出∠D=∠B=30°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC=45°，得出△APC是等腰直角三角形，∴PA=PC，∠CPD=90°，由（1）的證明過(guò)程可知：PM⊥BA，再由含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求出AP=1，CD=2，最后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出PN的長(zhǎng)度；

解答 解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠AMD=90°，
∵F是AD的中點(diǎn)，
∴AF=MF=DF，
∴∠FAM=∠FMA，
∠FMD=∠FDM，
∵∠FDM=∠MCB，∠FMA=∠EMC，
∠FAM+∠FDM=90°
∴∠EMC+∠MCB=90°，
∴ME⊥BC；

（2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°，
∴∠ACD=45°+60°=105°，
又∵∠D=∠B=30°，
∴∠DAC=180°-∠ACD-∠D=45°，
∴∠APC=180°-45°-45°=90°，△APC是等腰直角三角形，
∴PA=PC，∠APC=90°，
∴AD⊥BC，
∵ON⊥CD，
∴由垂徑定理可知：N是CD的中點(diǎn)，
∴由（1）的證明過(guò)程可知：PM⊥BA
∵AB=2，∠B=30°，
∴AP=1，
∴PC=1，
∵∠D=30°，
∴CD=2PC=2，
∵N是CD的中點(diǎn)，∠CPD=90°，
∴PN=$\frac{1}{2}$CD=1，

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及垂徑定理，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)．