Question

3．如圖，P為⊙O外一點，BC是⊙O的直徑，CA為⊙O的一條弦，連接PA、PB，∠PBA=∠C．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）連接OP，OP∥AC，且OP=10，BC=2$\sqrt{5}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由圓周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，證出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出結論；
（2）證明△ABC∽△PBO，得出對應邊成比例，即可求出BC的長．

解答 （1）證明：連接OB，如圖所示：
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切線；
（2）解：∵⊙O的半徑為2$\sqrt{5}$，
∴OB=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴$\frac{BC}{OB}$=$\frac{AC}{OP}$，
即$\frac{BC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{8}$，
∴BC=2．

點評 本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理、切線的判定是解決問題的關鍵．