Question

18．如圖，直線y=-$\frac{2}{3}$x+m分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（6，0）．
（1）用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)A的橫坐標(biāo)$\frac{3}{2}$m；
（2）若直線AB上存在點(diǎn)P，使∠OPC=90°，則m的取值范圍是2-$\sqrt{13}$≤m≤2+$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）令y=0，則0=-$\frac{2}{3}$x+m，解得x=$\frac{3}{2}$m，即可求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$m；
（2）要使∠OPC=90°，則直線AB必經(jīng)過(guò)以O(shè)C為直徑的圓，證△AOB∽△APM，得出$\frac{PM}{PA}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{3}$，即可求出OA的值，進(jìn)一步得出m的取值范圍．

解答 解：（1）令y=0，則0=-$\frac{2}{3}$x+m，
解得x=$\frac{3}{2}$m，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$m；
故答案為$\frac{3}{2}$m；

（2）要使∠OPC=90°，則直線AB必經(jīng)過(guò)以O(shè)C為直徑的圓，
如圖直線AB切圓于P，∵點(diǎn)C（6，0），
∴OC=6，
∴OM=PM=3，
∵直線y=-$\frac{2}{3}$x+m，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠OAB=∠PAM，∠AOB=∠APM=90°，
∴△AOB∽△APM，
∴$\frac{PM}{PA}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∴PA=$\frac{9}{2}$，
∴MA=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$，
∴OA=3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$或3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$，
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$m；
∴$\frac{3}{2}$m=3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$或3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$，
∴m=2+$\sqrt{13}$或2-$\sqrt{13}$，
∴m的取值范圍是2-$\sqrt{13}$≤m≤2+$\sqrt{13}$．
故答案為2-$\sqrt{13}$≤m≤2+$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度．