Question

3．如圖，已知線段AB=10，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），分別以AE、EB為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和等邊△BEF，連接DF，則DF²的最小值為50-25$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)AE=2x，則BE=10-2x，根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)，得到∠AED=90°，∠BEF=60°，過D作DG⊥EF于G，解直角三角形得到FG=10-2x-$\sqrt{3}$x，根據(jù)勾股定理得到DF²=（8+4$\sqrt{3}$）x²-20（$\sqrt{3}$+2）x+100，于是得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)AE=2x，則BE=10-2x，
在正方形ACDE和等邊△BEF中，
∵∠AED=90°，∠BEF=60°，
∴∠DEF=30°，
過D作DG⊥EF于G，
∴DG=x，EG=$\sqrt{3}$x，
∴FG=10-2x-$\sqrt{3}$x，
∴DF²=DG²+FG²=x²+（10-2x-$\sqrt{3}$x）²，
∴DF²=（8+4$\sqrt{3}$）x²-20（$\sqrt{3}$+2）x+100，
∵8+4$\sqrt{3}$＞0，
∴DF²的最小值=50-25$\sqrt{3}$，
故答案為：50-25$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．