Question

14．如圖所示，△ABC是一塊直角三角形余料，∠C=90°，AC=8厘米，BC=6厘米，現(xiàn)要把它加工成正方形零件，使正方形零件的面積最大．聰聰和明明兩位同學(xué)分別設(shè)計了一種方法，如圖所示，請你運用剛剛學(xué)過的相似三角形的有關(guān)知識，來說明一下他倆誰的設(shè)計方法更符合要求．

Answer 1

分析 對于聰聰?shù)脑O(shè)計：設(shè)正方形EFCD的邊長為x，則BF=6-x，證明△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)得$\frac{x}{8}$=$\frac{6-x}{6}$，解得x=$\frac{24}{7}$；對于明明的設(shè)計：設(shè)正方形DEFM的邊長為y，作CH⊥AB于H，交DM于G，則GH=y，CG=CH-y，先利用勾股定理計算出AB=10，再利用面積法計算出CH=$\frac{24}{5}$，接著證明△CDM∽△CAB，利用相似比得到$\frac{y}{10}$=$\frac{\frac{24}{5}-y}{\frac{24}{5}}$，解得y=$\frac{120}{37}$，然后通過比較x和y的大小判斷誰的設(shè)計方法更符合要求．

解答 解：對于聰聰?shù)脑O(shè)計：設(shè)正方形EFCD的邊長為x，則BF=6-x，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BF}{BC}$，即$\frac{x}{8}$=$\frac{6-x}{6}$，解得x=$\frac{24}{7}$，
即正方形EFCD的邊長為$\frac{24}{7}$；
對于明明的設(shè)計：設(shè)正方形DEFM的邊長為y，作CH⊥AB于H，交DM于G，則GH=y，CG=CH-y，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$BC•AC，
∴CH=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∵DM∥AB，
∴△CDM∽△CAB，
∴$\frac{DM}{AB}$=$\frac{CG}{CH}$，即$\frac{y}{10}$=$\frac{\frac{24}{5}-y}{\frac{24}{5}}$，解得y=$\frac{120}{37}$，
而x=$\frac{24}{7}$=$\frac{120}{35}$，
∴x＞y，
∴聰聰設(shè)計的正方形零件的面積比明明設(shè)計的正方形的面積要大，
∴聰聰?shù)脑O(shè)計方法更符合要求．

點評 本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通過構(gòu)建相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等進(jìn)行幾何計算．