Question

8．先閱讀下列材料，然后回答問題：
在一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若各項的系數(shù)之和為零，即a+b+c=0，則有一根為1，另一根為$\frac{c}{a}$．
證明：設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，由a+b+c=0，
知b=-（a+c），
∵x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{（a+c）±\sqrt{（a+c）^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{（a+c）±（a-c）}{2a}$
∴x₁=1，x₂=$\frac{c}{a}$．
（1）若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的各項系數(shù)滿足a-b+c=0，則兩根的情況怎樣，試說明你的結(jié)論；
（2）已知方程（ac-bc）x²+（bc-ab）x+（ab-ac）=0（abc≠0）有兩個相等的實數(shù)根，運用上述結(jié)論證明：$\frac{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 （1）由a-b+c=0，可得出b=a+c，結(jié)合給定材料可猜測方程的兩根中有一根為-1，另一根為-$\frac{c}{a}$．利用求根公式結(jié)合給定材料中的證明過程即可證明猜測成立；
（2）將方程系數(shù)相加即可得知“ac-bc+bc-ab+ab-ac=0”，滿足給定材料的條件，由此得出方程的兩根分別為1和$\frac{ab-ac}{ac-bc}$，由題意可知$\frac{ab-ac}{ac-bc}$=1，整理變形后即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）有一根為-1，另一根為-$\frac{c}{a}$．
證明：設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，由a-b+c=0，
知b=a+c，
∵x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-（a+c）±\sqrt{[-（a+c）]^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-（a+c）±（a-c）}{2a}$，
∴x₁=-1，x₂=-$\frac{c}{a}$．
（2）證明：∵ac-bc+bc-ab+ab-ac=0，
∴方程（ac-bc）x²+（bc-ab）x+（ab-ac）=0（abc≠0）的兩根分別為1和$\frac{ab-ac}{ac-bc}$．
∵方程（ac-bc）x²+（bc-ab）x+（ab-ac）=0（abc≠0）有兩個相等的實數(shù)根，
∴$\frac{ab-ac}{ac-bc}$=1，即ab-ac=ac-bc，
∴ab+bc=2ac．
∵abc≠0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及求根公式，解題的關(guān)鍵：（1）利用求根公式表示出x；（2）將方程系數(shù)相加得出方程的兩個分別為1和$\frac{ab-ac}{ac-bc}$．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)求根公式表示出方程的解是關(guān)鍵．