Question

10．已知：如圖AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0（其中m為實數(shù)）的兩根．
（1）求證：△PBC∽△BAC；
（2）求證：PF平分∠APB；
（3）若GE•EF=6$\sqrt{3}$，求∠PBC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理以及弦切角定理得出對應角相等進而得出即可；
（2）根據(jù)BE、BD恰好是關于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0（其中m為實數(shù)）的兩根來判斷，是它的兩根，可見此方程有根，所以求出△，必須≥0．利用這求出m的值．從而求出這個方程的一般式，然后解方程求出根，即是BE、BD的長度進而利用圓周角定理得出答案；
（3）要求∠PBC的度數(shù)，只要求出∠A的度數(shù)，再利用直角三角形的角邊關系，求出在Rt△ACB中sinA的值，要求sinA的值，就要求BC，AB的值．這就要利用題中給出的條件利用相似三角形來求．

解答 （1）證明：∵PB切⊙O于點B，
∴∠A=∠PBC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠BCP=90°，
∴△PBC∽△BAC；

（2）證明：∵BE、BD是關于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0的兩根，
∴△=（-6）²-4（m²+4m+13）=-4（m+2）²≥0，∴m=-2，
原方程為x²-6x+9=0，
解得x₁=x₂=3，
∴BE=BD=3，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，∠CDP+∠4=90°，
∠2=∠CDP，
∴∠3=∠4，
∴PF平分∠APB；

（3）解：由相交弦定理得AE•BE=GE•FE=6$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∵∠3=∠4，∠5=∠A，
∴△PBD∽△PAE，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{PD}{PE}$，
可得：△PDC∽△PEB
∴$\frac{DC}{EB}$=$\frac{PD}{PE}$，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{DC}{EB}$，
∴DC=$\frac{BD•EB}{AE}$=$\frac{3×3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ACB中，sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3+\frac{3\sqrt{3}}{2}}{3+2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A=∠PBC=60°．

點評 本題考查了學生圓的有關知識以及一元二次方程根的判別式的性質和弦切角定理等知識，得出△PBD∽△PAE求出DC的長是解題關鍵．