Question

19．如圖，G是△ABC的重心，連接AG并延長交BC于D，已知AG=2$\sqrt{3}$+2，∠BAD=45°，∠B=75°，則BC=12．

Answer 1

分析 首先根據(jù)重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，求出AD的長是多少；然后根據(jù)正弦定理，求出BD的長度是多少；最后用BD的長度乘以2，求出BC的長度是多少即可．

解答 解：∵G是△ABC的重心，AG=2$\sqrt{3}$+2，
∴AD=（2$\sqrt{3}$+2）×$\frac{3}{2}$=3$\sqrt{3}+3$，
由正弦定理，可得$\frac{BD}{sin45°}=\frac{AD}{sin75°}$，
∴$\frac{BD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}+3}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$，
解得BD=6，
∵G是△ABC的重心，
∴BC=2BD=2×6=12．
故答案為：12．

點評 （1）此題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．③重心到三角形3個頂點距離的和最小．
（2）此題還考查了正弦定理的應用，要熟練掌握．