Question

19．如圖，Rt△ABC中，AB=6，BC=8，以AB，BC，AC的中點A₁，B₁，C₁構成△A₁B₁C₁，以A₁B，BB₁，A₁B₁的中點A₂，B₂，C₂構成△A₂B₂C₂…依次操作，陰影部分面積之和將接近（　�。�

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 先根據三角形面積公式得到Rt△ABC的面積，再根據三角形中位線定理得到△A₁B₁C₁的面積，△A₂B₂C₂的面積…，再根據等比數列求和公式可求陰影部分面積之和．

解答 解：∵Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴Rt△ABC的面積為6×8÷2=24，
∵以AB，BC，AC的中點A₁，B₁，C₁構成△A₁B₁C₁，
∴△A₁B₁C₁的面積是24×$\frac{1}{4}$=6，
∵以A₁B，BB₁，A₁B₁的中點A₂，B₂，C₂構成△A₂B₂C₂，
∴△A₂B₂C₂的面積是24×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=1.5，
…，
∴陰影部分面積之和為$\frac{6-6×（\frac{1}{4}）^{n-1}×\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{6×（1-\frac{1}{4}）^{n}}{\frac{3}{4}}$≈8．
故選：C．

點評 此題考查了三角形中位線定理，三角形面積，等比數列求和公式，關鍵是得到后面的陰影部分面積是前面陰影部分面積的$\frac{1}{4}$．