Question

17．如圖，已知拋物線y=x²-3x-$\frac{7}{4}$與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-$\frac{1}{2}$，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（$\frac{7}{2}$，0），拋物線的對(duì)稱軸是直線x=$\frac{3}{2}$；
（2）將拋物線向上平移m個(gè)單位，與x軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C 在點(diǎn)D的左邊）．若CD：AB=3：4，求m的值；
（3）點(diǎn)P是（2）中平移后的拋物線上y軸右側(cè)部分的點(diǎn)，直線y=2x+b（b＜0）與 x、y軸分別交于點(diǎn)E、F．若以EF為直角邊的三角形PEF與△OEF相似，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令y=0求出x的值即可得出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由拋物線的對(duì)稱軸公式即可得出其對(duì)稱軸方程；
（2）由（1）知，AB=4，再由CD：AB=3：4求出CD的長(zhǎng)，根據(jù)y=x²-3x-$\frac{7}{4}$向上平移m個(gè)單位可得出C（0，0），D（3，0），進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）根據(jù)直線y=2x+b（b＜0）與 x、y軸分別交于點(diǎn)E、F得出E（-$\frac{2}$，0），F(xiàn)（0，b），故OE=-$\frac{2}$，OF=-b，$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{2}$，再分∠PFE=90°與∠PEF=90°兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-3x-$\frac{7}{4}$與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
∴0=x²-3x-$\frac{7}{4}$，解得x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{7}{2}$，
∴A（-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{7}{2}$，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸是x=$\frac{-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{7}{2}$，0），$\frac{3}{2}$；

（2）如圖①，由（1）知，AB=4，
∵CD：AB=3：4，
∴CD=3，
∵y=x²-3x-$\frac{7}{4}$向上平移m個(gè)單位，
∴C（0，0），D（3，0），
∴y=x²-3x，
∴m=$\frac{7}{4}$；

（3）∵直線y=2x+b（b＜0）與 x、y軸分別交于點(diǎn)E、F．
∴E（-$\frac{2}$，0），F(xiàn)（0，b），
∴OE=-$\frac{2}$，OF=-b，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{2}$，
①當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，如圖②，作EM⊥x軸，交PF于M，作GM⊥y軸于G，則四邊形MGOE是矩形，
∴MG=OE，EM=OG，
∵∠EFO+∠MFG=90°，∠EFO+∠FEO=90°，
∴∠MFG=∠FEO，
∵∠EOF=∠MGF=90°，
∴△EOF∽△FGM，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{FG}{MG}$=$\frac{1}{2}$，
∵M(jìn)G=-$\frac{2}$，
∴FG=-$\frac{4}$，
∴OG=-b-$\frac{4}$=-$\frac{5}{4}$b，
∴M（-$\frac{1}{2}$b，$\frac{5}{4}$b），
∵把x=-$\frac{1}{2}$b代入y=x²-3x，得y=$\frac{5}{4}$b，
∴M在拋物線上，
∴M即為P₁點(diǎn)，
設(shè)P（x，x²-3x），
∴$\frac{{x}^{2}-3x}{x}$=-$\frac{5}{2}$，
解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{1}{2}$，
∴P₁（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
∴E（$\frac{1}{2}$，0），F(xiàn)（0，-1），
∴直線P₁F的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y={x}^{2}-3x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$；
∴P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$）或（2，-2）；
②當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，
∴PE⊥EF，
∴設(shè)直線PE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+n，
∵E（$\frac{1}{2}$，0），
∴0=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+n，解得n=$\frac{1}{4}$，
∴直線PE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$，
∴P₁（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$），P₂（$\frac{11}{4}$，-$\frac{11}{16}$），P₃（2，-2），P₄（$\frac{13}{5}$，-$\frac{36}{25}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、二次函數(shù)平移的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，在解答（3）時(shí)要進(jìn)行分類討論．