Question

6．已知點(diǎn)A（4，m），B（ n，-8）在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$的圖象上，設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）如果點(diǎn)D在y軸上，且使△BCD為直角三角形，則符合要求的點(diǎn)D共有4個(gè)．

Answer 1

分析 （1）將A（4，m），B（ n，-8）分別代入反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{8}{x}$得m=2，n=-1，求得A（4，2），B（-1，-8），得到直線AB解析式為y=2x-6，即可得到結(jié)果；
（2）設(shè)D（0，m），當(dāng)∠BCD=90°時(shí)，當(dāng)∠BDC=90°時(shí)，當(dāng)∠DBC=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理分別列方程求解，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）將A（4，m），B（ n，-8）分別代入反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{8}{x}$得m=2，n=-1，
∴A（4，2），B（-1，-8），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A與B坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{-k+b=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$．
故直線AB解析式為y=2x-6，
令y=0，得到x=3，
即C（3，0）；

（2）∵點(diǎn)D在y軸上，
∴設(shè)D（0，m），
則CD²=3²+m²，
BC²=（1+3）²+8²=80，
BD²=1²+（m+8）²，
∵△BCD為直角三角形，
∴當(dāng)∠BCD=90°時(shí)，則有BD²=CD²+BC²，
即1²+（m+8）²=3²+m²+80，
解得：m=$\frac{3}{2}$，
∴D（0，$\frac{3}{2}$），
當(dāng)∠BDC=90°時(shí)，則有BC²=CD²+BD²，
即80=3²+m²+1²+（m+8）²，
解得：m=4±$\sqrt{19}$，
∴D（0，4+$\sqrt{19}$），（0，4-$\sqrt{19}$），
當(dāng)∠DBC=90°時(shí)，則有DC²=BC²+BD²，
即3²+m²=80+1²+（m+8）²，
解得m=$\frac{17}{2}$，
∴D（0，$\frac{17}{2}$），
∴符合要求的點(diǎn)D共有4個(gè)．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．