Question

20．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B（2，n），過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P（3n-4，1）是該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且∠PBC=∠ABC，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析 將點(diǎn)B（2，n）、P（3n-4，1）代入反比例函數(shù)的解析式可求得m、n的值，從而求得反比例函數(shù)的解析式以及點(diǎn)B和點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D，并延長(zhǎng)交AB與點(diǎn)P′．接下來(lái)證明△BDP≌△BDP′，從而得到點(diǎn)P′的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)P′和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求得一次函數(shù)的表達(dá)式．

解答 解：∵點(diǎn)B（2，n）、P（3n-4，1）在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2n=m}\\{3n-4=m}\end{array}\right.$．
解得：m=8，n=4．
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{8}{x}$．
∵m=8，n=4，
∴點(diǎn)B（2，4），P（8，1）．
過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D，并延長(zhǎng)交AB與點(diǎn)P′．

在△BDP和△BDP′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBD=∠P′BD}\\{BD=BD}\\{∠BDP=∠BDP′}\end{array}\right.$
∴△BDP≌△BDP′．
∴DP′=DP=6．
∴點(diǎn)P′（-4，1）．
將點(diǎn)P′（-4，1），B（2，4）代入直線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{1}{2}$x+3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．