Question

18．正方形ABCD中，點(diǎn)C為線段EF的中點(diǎn)，連接AE、BF交于M，當(dāng)AE⊥BF，∠BFE=45°，BE=10，則DF的長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）作CG⊥BF于G，連接CM．只要證明△MCF，△MCG，△GCF都是等腰直角三角形，由△ABM≌△BCG，推出BM=CG=GM=GF，AM=BG，由ME=MF=BG，推出AM=ME，由BM⊥AE，推出AB=BE=10，設(shè)BM=x，則AM=2x，在Rt△ABM中，根據(jù)AB²=AM²+BM²，列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖，作CG⊥BF于G，連接CM．

∵AE⊥BF，
∴∠EMF=90°，∵CE=CF，
∴CM=CF=CE，
∵∠CGF=90°，∠CFG=45°，
∴∠CMF=∠CFM=45°，
∴∠MCF=∠BCD=90°，
∴∠BCM=∠DCF，CG=GM=GF，
∵CB=CD，CM=CF，
∴△BCM≌△DCF，
∴BM=DF，
易證△ABM≌△BCG，
∴BM=CG=GM=GF，AM=BG，
∵M(jìn)E=MF=BG，
∴AM=ME，∵BM⊥AE，
∴AB=BE=10，
設(shè)BM=x，則AM=2x，
在Rt△ABM中，∵AB²=AM²+BM²，
∴10²=x²+（2x）²，
∴x=2$\sqrt{5}$，
∴DF=AM=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．