Question

13．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=$\sqrt{2}$，點D是邊AC上一點，連接BD，并將
△BCD沿BD折疊，使點C恰好落在邊AB上的點E處，過點D作DF⊥BD，交AB于點F．
（1）求證：∠ADF=∠EDF；
（2）探究線段AD，AF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若EF=1，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由已知可得∠ADF+∠BDC=∠EDF+∠BDE=90°，再由折疊的性質(zhì)得∠BDE=∠BDC，即可得出結(jié)論；
（2）由折疊的性質(zhì)與已知得∠DEF=∠BDF=∠C=90°，推出∠EDF+∠DFE=∠ABD+∠DFE=90°，得出∠EDF=∠ABD，∠ADF=∠DBA，證得△ADF∽△ABD，對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)果；
（3）在Rt△ADE中，tanA=DE：AE=$\sqrt{2}$：1，設(shè)AE=x，則DE=$\sqrt{2}$x，由勾股定理可解得AD=$\sqrt{3}$x，證得△BDE∽△DFE，得出DE²=EF•EB，解得BE=2x²，再由（2）知AD²=AF•AB，即（$\sqrt{3}$x）²=（AE-EF）（AE+BE）=（x-1）×（x+2x²），解得x的值，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵DF⊥DB，
∴∠BDF=90°，
∴∠ADF+∠BDC=∠EDF+∠BDE=90°，
由折疊性質(zhì)得：∠BDE=∠BDC，
∴∠ADF=∠EDF；

（2）解：AD，AF，AB之間的數(shù)量關(guān)系為AD²=AF•AB，理由如下：
由折疊性質(zhì)得：∠DEF=∠BDF=∠C=90°，
∴∠EDF+∠DFE=∠ABD+∠DFE=90°，
∴∠EDF=∠ABD，
∴∠ADF=∠DBA，
∵∠A=∠A，
∴△ADF∽△ABD，
∴AF：AD=AD：AB，
∴AD²=AF•AB；

（3）解：在Rt△ADE中，tanA=DE：AE=$\sqrt{2}$：1，
設(shè)AE=x，則DE=$\sqrt{2}$x，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（\sqrt{2}x）^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
∵∠ABD=∠EDF，∠AED=∠DEF，
∴△BDE∽△DFE，
∴DE：EF=BE：DE，即DE²=EF•EB，
∴（$\sqrt{2}$x）²=1×BE，即BE=2x²，
由（2）知AD²=AF•AB，
∴（$\sqrt{3}$x）²=（AE-EF）（AE+BE）=（x-1）×（x+2x²），
即3x²=（x-1）×（x+2x²），
解得：x=1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x=1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$（不合題意舍去），
∴BE=2x²=2（1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=5+2$\sqrt{6}$，
由折疊可知，BC=BE=5+2$\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、一元三次方程的解法等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．