Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，D為AC的中點(diǎn)．連接DE，BD與OE相交于點(diǎn)F
（1）求證：DE所在的直線為⊙O的切線．
（2）若AB=10，BE=5$\sqrt{3}$，求OF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證AD=DE，證△OAD≌△OED，∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）連接AE，根據(jù)勾股定理得到AE=5，得到AE=$\frac{1}{2}$AB，由AB是⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，求得∠ABC=30°，得到BC=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，根據(jù)三角形中位線的想知道的OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，于是得到OD：BE=OF：EF=2：3；即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD；如圖1所示：
∵O、D分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC，∠DOE=∠BEO；
∵OB=OE，
∴∠AOD=∠DOE，
在△OAD和△OED中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{∠AOD=∠DOE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OED（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，DE=AD，
∴DE為⊙O的切線．

（2）解：連接AE，如圖2所示：
∵AB=10，BE=5$\sqrt{3}$，
∴AE=5，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∵OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴OD：BE=OF：EF=2：3；
∵OE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴OF=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，勾股定理和三角形全等的判定，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握切線的判定，由勾股定理求出AD是解決問題（2）的關(guān)鍵．