Question

20．如圖，已知A、B是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上兩點(diǎn)，BP⊥x軸，垂足為P．
已知∠AOP=45°，OA=4，tan∠BOP=$\frac{1}{2}$．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）連接AB，求四邊形AOPB的面積．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AC⊥OP交OP于點(diǎn)C，在Rt△AOC中，通過解直角三角形即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式，在Rt△OBP中，通過解直角三角形可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用分割圖形求面積法結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即可求出四邊形AOPB的面積．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AC⊥OP交OP于點(diǎn)C，如圖所示．
在Rt△AOC中，∠AOP=45°，OA=4，
∴AC=OC=2$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．

（2）把A（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
2$\sqrt{2}$=$\frac{k}{2\sqrt{2}}$，解得：k=8，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{8}{x}$．
在Rt△OBP中，tan∠BOP=$\frac{1}{2}$，即OP=2BP，設(shè)BP=m，則點(diǎn)B（2m，m），
把B（2m，m）代入y=$\frac{8}{x}$中，
m=$\frac{8}{2m}$，解得：m=2，
∴BP=2，OP=4，
∴S_{四邊形AOPB}=S_{四邊形ACPB}+S_△AOC=$\frac{1}{2}$×（2+2$\sqrt{2}$）×（4-2$\sqrt{2}$）+$\frac{1}{2}$×8=4+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、解直角三角形以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解直角三角形找出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）利用分割圖形求面積法求出四邊形AOPB的面積．