Question

7．閱讀材料：如圖①，線段AB，CD相交于點(diǎn)O，則稱△AOC和△BDO為“對頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A+∠C=∠B+∠D．
（1）如圖②，線段AB，CD相交于點(diǎn)O，∠CAO與∠BDO的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，AP交CD于點(diǎn)M，DP交AB于點(diǎn)N，則圖中共有6對“對頂三角形”．
（2）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．
（3）如圖②，若∠B=96°，∠C=98°，求∠P的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對頂三角形的特征，分類討論，找出“對頂三角形”的個數(shù)；
（2）先根據(jù)對頂三角形的性質(zhì)可得：∠E+∠F=∠ADE+∠DAF，再根據(jù)四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），然后把∠B=96°，∠C=98°代入計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖2，以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的“對頂三角形”有△AOM和△DON，△AOM和△DOB，△AOC和△DON，△AOC和△BOD，
以點(diǎn)M為頂點(diǎn)的“對頂三角形”有△ACM和△DMP，
以點(diǎn)N為頂點(diǎn)的“對頂三角形”有△ANP和△BDN，
共有4+1+1=6個，
故答案為6；

（2）如圖3，連接AD，則
由對頂三角形的性質(zhì)可得：∠E+∠F=∠ADE+∠DAF，
∵四邊形ABCD中，∠BAF+∠FAD+∠ADE+∠CDE+∠C+∠B=360°，
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=360°；

（3）如圖2，∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，
∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=∠P-∠B，
即∠P=$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），
∵∠B=96°，∠C=98°，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（98°+96°）=97°．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及多邊形內(nèi)角和，也考查了角平分線的定義，解決問題時注意運(yùn)用：三角形的內(nèi)角和等于180°，四邊形的內(nèi)角和等于360°．熟記對頂三角形”性質(zhì)并理解題目信息是解題的關(guān)鍵．