Question

19．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），且此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-1，4）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D為已知拋物線對稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD與△ACB面積相等時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在線段AM上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，四邊形PEBC的面積為s，請求出s與m的函數(shù)關(guān)系式，并求面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)D（-1，y），分兩種情況：當(dāng)D在點(diǎn)N的下方和上方時，DN的值不同，分別表示出來，利用等量關(guān)系△ACD與△ACB面積相等，代入計算即可；
（3）把四邊形PEBC的面積分成三個三角形的面積，先求直線AM的解析式，利用解析式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出三個三角形對應(yīng)的底和高，代入面積公式進(jìn)行計算，并配方求頂點(diǎn)坐標(biāo)，注意其m的取值．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）²+4，
把（0，3）代入得：3=a（0+1）²+4，
a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3；
（2）當(dāng)y=0時，0=-x²-2x+3，
x²+2x-3=0，
解得：x=-3或1，
∴A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，3），
∴OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
設(shè)對稱軸與AC的交點(diǎn)為N，直線AC的解析式為：y=kx+b，
把A（-3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=x+3，
當(dāng)x=-1時，y=2，
∴N（-1，2），
設(shè)D（-1，y），
分兩種情況：
①當(dāng)D在點(diǎn)N的下方時，如圖1，DN=2-y，
S_△ADC=$\frac{1}{2}$DN•OA=$\frac{1}{2}$×（2-y）×3=6，
∴y=-2，
∴D（-1，-2），
②當(dāng)D在點(diǎn)N的上方時，如圖2，DN=y-2，
S_△ADC=$\frac{1}{2}$DN•OA=$\frac{1}{2}$×（y-2）×3=6，
∴y=6，
∴D（-1，6），
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-2）或（-1，6）；
（3）如圖3，設(shè)直線AM的解析式為：y=kx+b，
把A（-3，0），M（-1，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AM的解析式為：y=2x+6，
由題意得：P（m，2m+6），
∴OE=-m，PE=2m+6，
連接OP，
S=S_△PEO+S_△POC+S_△BOC，
=$\frac{1}{2}$PE•OE+$\frac{1}{2}$OC•OE+$\frac{1}{2}$OC•OB，
=$\frac{1}{2}$（2m+6）•（-m）+$\frac{1}{2}$×3×（-m）+$\frac{1}{2}$×3×1，
S=-m²-$\frac{9}{2}$m+$\frac{3}{2}$=-（m+$\frac{9}{4}$）²+$\frac{105}{16}$，
∵點(diǎn)P在線段AM上，
∴-3≤m≤-1，
∴當(dāng)m=-$\frac{9}{4}$時，S有最大值，最大值為$\frac{105}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最值及利用待定系數(shù)法求解析式，明確與x軸垂直的直線上的兩點(diǎn)的距離等于縱坐標(biāo)差的絕對值，同時利用了不規(guī)則三角形面積等于水平寬與鉛垂高積的一半，這一方法可以簡化面積的求法，非常適用．