Question

4．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+k²=0．
（1）若方程有實數(shù)根，求k的取值范圍：
（2）若方程的兩根為x₁，x₂，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根可以得到△≥0，從而求得k的取值范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根之和和兩根之積代入代數(shù)式求k的值即可．

解答 解：（1）∵方程有實數(shù)根，
∴△=[-（2k-1）]²-4k²≥0，
解得k≤$\frac{1}{4}$．

（2）由根與系數(shù)關(guān)系知：
x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²，
又∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$═$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2k-1}{{k}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得：k=-2+$\sqrt{6}$或k=-2-$\sqrt{6}$，
∵k≤$\frac{1}{4}$，
∴k=-2-$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程沒有實數(shù)根．