Question

1．如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于點E，交AC于點F，∠ACB=45°，連接BF，∠FBC=∠EDC．
（1）求證：BF=CD；
（2）若AB=5，BC=7，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）過點A作AG⊥BC于G，由∠ACB=45°，DE⊥BC，得到等腰直角三角形，得到邊相等，證得全等三角形，得到對應邊相等；
（2）根據(jù)梯形的底平行，DE⊥BC，得到等腰直角三角形，證得矩形，得到對邊相等，由等腰直角三角形的直角邊相等，通過等量代換，得到線段相等，由勾股定理列方程求所需線段的才長度，根據(jù)梯形的面積公式求得結(jié)果．

解答 解：（1）過點A作AG⊥BC于G，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°
∵∠ACB=45°
∴EF=EC，
∵∠FBC=∠EDC，
在△BEF與△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠BEF}\\{∠EDC=∠BFE}\\{EF=CE}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△BEF（AAS）
∴BF=CD；

（2）∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴∠EDA=90°，∠DAC=∠ACB=45°，
∴AD=DF，
∵AG⊥BC
∴四邊形ADEG是矩形，
∴EG=AD，AG=DE，
∴EG=DF，AG=BE，
∵AG⊥BC，∠ACB=45°，
∴AG=CG，
∴BE=CG，
∵BE=BG+EG，CG=CE+EG，
∴BG=CE，
設CE=x，則BG=x，
∵BC=7，
∴BE=BC-CE=7-x，
∴AG=BE=7-x，
∵AB²=AG²+BG²，AB=5，∴5²=x²+（7-x）²，
解得x=3和x=4（因2x=8＞7故舍去x=4）
∴AG=7-x=4，EG=7-2x=1，
∴AD=1，
∴S梯形=（AD+BC）×AG/2=（1+7）×4/2=16．

點評 本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理得應用，梯形的面積公式等知識點．