Question

19．如圖，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)N，則S_△DMN：S_△DEA=1：6．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，可以求出DE=$\frac{1}{2}$BC，又點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，可以求出DM：BC的值，也就等于MN：NC的值，從而可以得到MN：MC的比值，也就是點(diǎn)N到DE的距離與點(diǎn)C到DE的距離之比，又DM=ME，所以S_△DMN：S_△CEM=MN：MC．設(shè)NF=x，則CG=3x，設(shè)DM=y，則ME=y，DE=2y，BC=4y，利用x和y表示出△ADE和△DMN的面積，據(jù)此即可求解．

解答 解：∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，
∴DM=ME=$\frac{1}{4}$BC，
∴$\frac{MN}{NC}$=$\frac{DM}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{MN}{MC}$=$\frac{NF}{CG}$=$\frac{1}{3}$，
即：點(diǎn)N到DE的距離與點(diǎn)C到DE的距離之比為$\frac{1}{3}$，
∵DM=ME，
∴S_△DMN：S_△CEM=1：3．
設(shè)NF=x，則CG=3x，設(shè)DM=y，則ME=y，DE=2y，BC=4y．
則S_△CEM=$\frac{1}{2}$x×3y=$\frac{3}{2}$xy，S_梯形DECB=$\frac{1}{2}$（2x+4x）•3y=9xy，
∵DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S_△ADE=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴S_△ADE=$\frac{1}{3}$S_梯形DECB=3xy，
則S_△DMN：S_△DEA=$\frac{1}{2}$xy：3xy=1：6．
故答案是：1：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線定理，以及平行線分線段成比例定理，求出等邊上的高的比是解題的關(guān)鍵．