Question

5．已知等腰△ABC中，AB=AC，AD∥BC，CD⊥AC，連接BD交AC于點(diǎn)P，
（1）如圖1，若AB=5，BC=6，求$\frac{AP}{CP}$的值；
（2）如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，CH與BD交于點(diǎn)E，求證：CE=HE．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BE=CE=3，根據(jù)勾股定理得到AE=4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AD=$\frac{25}{3}$，即可得到結(jié)論；
（2）作CQ∥AB于Q，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{BC}{AD}$，$\frac{CE}{HE}$=$\frac{CQ}{BH}$，$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{BC}{AD}$，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BH}{AC}$=$\frac{BC}{AD}$，于是得到$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{BH}{AC}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BE=CE=3，
∴AE=4，
∵AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠EAC+∠DAC=90°，
∵AC⊥CD，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠EAC=∠ADC，
∴△ACE∽△DAC，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{CE}{AC}$，
∴AD=$\frac{25}{3}$，
∵AD∥BC，
∴△APD∽△CPB，
∴$\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{BC}$=$\frac{25}{18}$；
（2）證明：作CQ∥AB于Q，
如圖所示：則$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{BC}{AD}$，$\frac{CE}{HE}$=$\frac{CQ}{BH}$，
∵AD∥BC，
∴$\frac{CP}{AP}$=$\frac{BC}{AD}$，∠ACB=∠DAC，
∴$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{BC}{AD}$，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠DAC，
∵CH⊥AB，
∴∠BHC=90°=∠ACD，
∴△CHB∽△DCA，
∴$\frac{BH}{AC}$=$\frac{BC}{AD}$，
∴$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{BH}{AC}$，
∴CQ=BH，
∴$\frac{CE}{HE}$═1，
∴CE=HE．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．