Question

11．如圖，反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y₂=$\frac{1}{4}$x的圖象交于點A、B，點B的橫坐標(biāo)是4，點P（1，m）在反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$的圖象上．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）觀察圖象回答：當(dāng)x為何范圍時，y₁＞y₂；
（3）求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）把x=4代入y₂=$\frac{1}{4}$x，得到點B的坐標(biāo)，再把點B的坐標(biāo)代入y₁=$\frac{k}{x}$，求出k的值，即可得到反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）觀察圖象可知，反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)圖象上方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍就是不等式y(tǒng)₁＞y₂的解集；
（3）過點A作AR⊥y軸于R，過點P作PS⊥y軸于S，連接PO，設(shè)AP與y軸交于點C，由點A與點B關(guān)于原點對稱，得出OA=OB，那么S_△AOP=S_△BOP，S_△PAB=2S_△AOP．求出P點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AP的函數(shù)關(guān)系式，得到點C的坐標(biāo)，根據(jù)S_△AOP=S_△AOC+S_△POC求出S_△AOP=$\frac{15}{2}$，則S_△PAB=2S_△AOP=15．

解答 解：（1）把x=4代入y₂=$\frac{1}{4}$x，得到點B的坐標(biāo)為（4，1），
把點B（4，1）代入y₁=$\frac{k}{x}$，得k=4．
反比例函數(shù)的表達(dá)式為y₁=$\frac{4}{x}$；

（2）∵點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴A的坐標(biāo)為（-4，-1），
觀察圖象得，當(dāng)x＜-4或0＜x＜4時，y₁＞y₂；

（3）過點A作AR⊥y軸于R，過點P作PS⊥y軸于S，連接PO，
設(shè)AP與y軸交于點C，如圖，
∵點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴OA=OB，
∴S_△AOP=S_△BOP，
∴S_△PAB=2S_△AOP．
y₁=$\frac{4}{x}$中，當(dāng)x=1時，y=4，
∴P（1，4）．
設(shè)直線AP的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，
把點A（-4，-1）、P（1，4）代入y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=-1}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=1}\end{array}\right.$．
故直線AP的函數(shù)關(guān)系式為y=x+3，
則點C的坐標(biāo)（0，3），OC=3，
∴S_△AOP=S_△AOC+S_△POC
=$\frac{1}{2}$OC•AR+$\frac{1}{2}$OC•PS
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×1
=$\frac{15}{2}$，
∴S_△PAB=2S_△AOP=15．

點評 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積．利用了數(shù)形結(jié)合的思想．