Question

6．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，PD切⊙O于點(diǎn)C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC
（1）求證：BC平分∠PBD；
（2）求證：PC²=PA•PB；
（3）若PA=2，PC=2$\sqrt{3}$，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）連接OC，由PD切⊙O于點(diǎn)C，得到OC⊥PD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DBC=∠BCO，根據(jù)的預(yù)計(jì)實(shí)現(xiàn)的性質(zhì)得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OBC=∠CBD，于是得到即可；
（2）連接AC，由AB是半圓O的直徑，得到∠ACB=90°，推出∠ACP=∠ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）連接OC，
∵PD切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴BD∥OC，
∴∠DBC=∠BCO，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠CBD，
∴BC平分∠PBD；

（2）連接AC，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠ABC=90°，
∵∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠ACP=∠ABC，
∵∠P=∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴$\frac{PC}{PB}=\frac{PA}{PC}$，
∴PC²=PA•PB；

（3）∵PC²=PA•PB，PA=2，PC=2$\sqrt{3}$，
∴PB=6，
∴AB=4，
∴OC=2，PO=4，
∴∠POC=60°，
∴S_陰影=S_△POC-S_扇形=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}$×2-$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，扇形面積的計(jì)算，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．