Question

8．如圖，點B（4，4）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，點C在雙曲線y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）上，點A是x軸上一動點，連接BC、AC、AB．

（1）求k的值；
（2）如圖1，當BC∥x軸時，△ABC的面積；
（3）如圖2，當點A運動到x軸正半軸時，如△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，求點A的坐標．

Answer 1

分析 （1）把B坐標代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$解析式，即可求出k的值；
（2）若BC與x軸平行，則有C與B縱坐標相同，把B縱坐標代入雙曲線y=-$\frac{6}{x}$中，求出x的值，確定出C坐標，進而求出BC的長，三角形ABC面積以BC為底邊，B縱坐標為高，求出即可；
（3）過點B、C作x軸的垂線，垂足為M、N，利用AAS得到三角形ABM與三角形CAN全等，利用全等三角形對應邊相等得到BM=AN，AM=CN，設(shè)OA=x，表示出C坐標，代入雙曲線解析式列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出A的坐標．

解答 解：（1）∵B（4，4）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=4×4=16；

（2）∵BC∥x軸，
∴B與C縱坐標相同，
把y=4代入y=-$\frac{6}{x}$中，得：x=-$\frac{3}{2}$，即C（-$\frac{3}{2}$，4），
∴BC=4+$\frac{3}{2}$=$\frac{11}{2}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•y_B縱坐標=11；

（3）過點B、C作x軸的垂線，垂足為M、N，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，AC=BC，
∴∠ACN+∠CAN=90°，∠BAM+∠CAN=90°，
∴∠ACN=∠BAM，
在△ABM和△CAN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠BAM=∠ACN\\∠AMB=∠CNA\\ AB=CA\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AN=MB=4，CN=AM，
設(shè)OA=a，則有ON=AN-OA=4-a，CN=AM=OM-OA=4-a，
∴C（a-4，4-a）（a＜4），
把C坐標代入y=-$\frac{6}{x}$中，得：-（4-a）²=-6，
解得：a=4-$\sqrt{6}$．
則點A的坐標為（4-$\sqrt{6}$，0）．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．