Question

16．如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．
（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？
（2）請判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；
（3）在平移變換過程中，設(shè)y=S_△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得PQ，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，可得PQ與AB的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，可得∠PQO，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AO與OP的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得AO與OP的位置關(guān)系；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得OE的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得到答案．

解答 （1）四邊形APQD為平行四邊形；
（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠PQO=45°，
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，
∴OB=OQ，
在△AOB和△OPQ中，

$\left\{\begin{array}{l}{AB=PQ}\\{∠ABO=∠PQO}\\{BO=QO}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，
∴∠AOP=∠BOQ=90°，
∴OA⊥OP；
（3）如圖，過O作OE⊥BC于E．
①如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
則BQ=x+2，OE=$\frac{x+2}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{x+2}{2}$•x，即y=$\frac{1}{4}$（x+1）²-$\frac{1}{4}$，
又∵0≤x≤2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2；
②如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
則BQ=2-x，OE=$\frac{2-x}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{2-x}{2}$•x，即y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+$\frac{1}{4}$，
又∵0≤x≤2，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值為$\frac{1}{4}$；
綜上所述，∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2；

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵；利用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵；利用等腰直角三角形的性質(zhì)的出OE的長是解題關(guān)鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)．