Question

18．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠D=90°，邊AB、BC的長（AB＜BC）是方程x²-7x+12=0的兩個根．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿△ABC邊 A→B→C→A的方向運動，運動時間為t（秒）．
（1）求AB與BC的長；
（2）在點P的運動過程中，是否存在點P，使△CDP是等腰三角形？若存在，請求出運動時間t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-7x+12=0，即可求出AB與BC的長；
（2）存在點P，使△CDP是等腰三角形，利用已知條件易證四邊形ABCD是矩形，利用勾股定理可求出AC的長，再分別討論P在不同位置下時△CDP為等腰三角形，求出t的值即可．

解答 解：（1）∵x²-7x+12=（x-3）（x-4）=0，
∴x=3或4，
∵邊AB、BC的長（AB＜BC）是方程x²-7x+12=0的兩個根，
∴AB=3，BC=4；
（2）存在點P，使△CDP是等腰三角形，
理由如下：
∵在平行四邊形ABCD中，∠D=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
當P₁D=P₁C即P為對角線AC中點時，△CDP是等腰三角形，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴CP₁=$\frac{1}{2}$AC=2.5，
∴t=$\frac{3+4+2.5}{1}$=9.5（秒）；
當P₂D=P₂C時，△CDP是等腰三角形，
∴t=$\frac{3+4+3}{1}$=10（秒），
AB的中點也是，此時t=1；
CP=CD，P在BC線段上，此時，t=4；
DP=DC，P在斜邊AC上，此時t=10.6；
綜上可知當t=9.5秒或10秒或1秒或4秒或10.6秒時△CDP是等腰三角形

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想解答題目，做到不重不漏．