Question

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=30°，點P在BC上由點B向點C出發(fā)，速度為每秒2cm；點Q在邊AD上，同時由點D向點A運動，速度為每秒1cm，當(dāng)點P運動到點C時，P、Q同時停止運動，連接PQ，設(shè)運動時間為t秒．
（1）設(shè)四邊形ABPQ的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）t為何值時四邊形ABPQ為平行四邊形？
（3）連結(jié)AP，是否存在某一時刻t，使△ABP為等腰三角形？并求出此刻t的值．

Answer 1

分析 （1）先構(gòu)造直角三角形，求出AE，再用梯形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）利用平行四邊形的對邊相等AQ=BP建立方程求解即可；
（3）分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)，兩腰相等建立方程求解即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，
過點A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=6，
∴AE=3，
由運動知，BP=2t，DQ=t，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=12，
∴AQ=12-t，
∴y=S_{四邊形ABPQ}=$\frac{1}{2}$（BP+AQ）•AE=$\frac{1}{2}$（2t+12-t）×3=$\frac{3}{2}$t+18（0＜t≤6）

（2）由（1）知，AQ=12-t，BP=2t，
∵四邊形ABPQ為平行四邊形，
∴AQ=BP，
∴12-t=2t   
∴t=4，
即：t=4s時，四邊形ABPQ是平行四邊形；

（3）①當(dāng)AB=BP時，BP=6，
即2t=6，t=3；       
②當(dāng)AP=BP時，如圖2，∠B=30°，
過P作PM垂直于AB，垂足為點M，
∴BM=3，BP=2$\sqrt{3}$，
∴2t=2$\sqrt{3}$，
∴t=$\sqrt{3}$
③當(dāng)AB=AP時，同（2）的方法得，BP=6$\sqrt{3}$，
∴2t=6$\sqrt{3}$，
∴t=3$\sqrt{3}$
所以，當(dāng)t=3或$\sqrt{3}$ 或3$\sqrt{3}$時，△ABP為等腰三角形．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是求出梯形的高，解（2）的關(guān)鍵是利用AQ=BP建立方程，解（3）的關(guān)鍵是分類討論的思想思考問題，是一道中考�？碱}．