Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=$\frac{1}{2}$x+3與x軸相交于點(diǎn) A，與y軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D恰好落在y軸正半軸的點(diǎn)D處．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒$\frac{3}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BO勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿射線DC勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，Q點(diǎn)始終在P點(diǎn)的上方，連接AP、AQ，且tan∠PAQ=$\frac{1}{2}$，連接PC、PQ，設(shè)△PCQ的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，以線段PQ為直徑作⊙M，設(shè)⊙M與射線DC的另一個(gè)交點(diǎn)為N，是否存點(diǎn)P，使$\frac{BD}{QN}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$？若存在，求出t值，并判斷并直接寫出此時(shí)直線PQ與x軸的位置關(guān)系？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作BE⊥AD于E，設(shè)DE=x，BD=y，由△△ABE≌△ABO，推出OA=AE=6，OB=BE=3，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x、y的方程組求出x、y即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，作BF⊥CD于F，PH⊥CD于H．首先證明△DAQ∽△BAP，再分兩種情形①點(diǎn)Q在點(diǎn)C上方時(shí)．②點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方時(shí)，如圖3中，分別計(jì)算即可．
（3）分兩種情形討論①點(diǎn)Q在點(diǎn)C上方時(shí)，如圖4中，根據(jù)PN：DN=1：2，可得$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$：（$\sqrt{5}$t+2$\sqrt{5}$）=$\frac{1}{2}$，②點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方時(shí)，如圖5中，根據(jù)PN：DN=1：2，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，作BE⊥AD于E，設(shè)DE=x，BD=y．

在△ABE和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AOB=90°}\\{∠EAB=∠BAO}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△△ABE≌△ABO，
∴OA=AE，OB=BE，
∵B（0，3），A（-6，0），
∴AE=AO=6，EB=BO=3，
則有$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{3}^{2}={y}^{2}}\\{{6}^{2}+（3+y）^{2}=（6+x）^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴DE=4，
∵AD=AC=10，OA=6，
∴OC=4，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0）

（2）如圖2中，作BF⊥CD于F，PH⊥CD于H．

∵AD=AC，∠FAD=∠FAC，
∴AF⊥CD，
∴∠DFB=∠AOB=90°，
∵∠ABO=∠DBF，
∴∠BDF=∠BAO=∠BAD，
∵∠ABP=∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠BDF=∠ADQ，
由（1）可知tan∠DAB=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，∵tan∠PAQ=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAD=∠PAQ，
∴∠DAQ=∠BAP，
∴△DAQ∽△BAP
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DQ}{BP}$，
∴DQ=$\sqrt{5}$t
∵DP=5+$\frac{3}{2}$t，tan∠ODC=$\frac{1}{2}$，
∴PH=.$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$，
①點(diǎn)Q在點(diǎn)C上方時(shí)．
∴s=$\frac{1}{2}$PH•QC=$\frac{1}{2}$PH（DC-DQ），
∴s=$\frac{1}{2}$×$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$（4$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t）=$-\frac{3}{4}{t^2}$+$\frac{1}{2}$t+10（0≤t＜4）．
②點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方時(shí)，如圖3中，

∴s=$\frac{1}{2}$PH•QC=$\frac{1}{2}$PH（DQ-DC），
∴s=$\frac{1}{2}$×$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$（$\sqrt{5}$t-4$\sqrt{5}$）=$\frac{3}{4}{t^2}$-$\frac{1}{2}$t-10（t＞4）．

（3）∵$\frac{BD}{QN}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∴NQ=2$\sqrt{5}$
∵PQ為直徑，
∴∠PNQ=90°，
又∵tan∠ODC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PN}{DN}$=$\frac{1}{2}$
①點(diǎn)Q在點(diǎn)C上方時(shí)，如圖4中，

∵PN：DN=1：2
∴$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$：（$\sqrt{5}$t+2$\sqrt{5}$）=$\frac{1}{2}$，
∴t=0，
當(dāng)t=0時(shí)，D、Q重合，PQ⊥x軸．
②點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方時(shí)，如圖5中，

∵PN：DN=1：2，
∴$\frac{{5+\frac{3}{2}t}}{{\sqrt{5}}}$：（$\sqrt{5}$t-2$\sqrt{5}$）=$\frac{1}{2}$，
∴t=10，
當(dāng)t=10時(shí)，DP=20，DQ=10$\sqrt{5}$，
∴$\frac{DO}{DP}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{DC}{DQ}$=$\frac{4\sqrt{5}}{10\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{DO}{DP}$=$\frac{DC}{DQ}$
∴PQ∥x軸．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用方程的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論，注意不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．