Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，點F是AC上一點，連結(jié)BF，DF．
（1）證明：△ABF≌△ADF；
（2）若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）首先得出△ABC≌△ADC（SSS），進而利用全等三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠DAC，再證明△ABF≌△ADF（SAS）；
（2）利用平行線的性質(zhì)得出∠BAC=∠DCA，進而得出AB=DC，再利用平行的判定方法得出答案．

解答 （1）證明：在△ABC和△ADC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADF（SAS）；

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAF=∠ADC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
由（1）得：AB=DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形．

點評 此題主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出△ABC≌△ADC（SSS）是解題關(guān)鍵．