Question

20．如圖，點P是拋物線y=-x²+4的頂點，將拋物線平移，平移后的拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側）頂點Q落在第一象限內(nèi)，且△ABQ是等邊三角形，直線PQ與x軸交于點C，若PQ=$\sqrt{3}$，則BC=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 將拋物線y=-x²+4向下平移，頂點為M，與x軸的交點為N、G，當△MNG是等邊三角形時，設M（0，m），首先求出m，再根據(jù)勾股定理求出PQ，推出點Q坐標，求出直線PQ的解析式，求出點C、B坐標即可解決問題．

解答 解：將拋物線y=-x²+4向下平移，頂點為M，與x軸的交點為N、G，當△MNG是等邊三角形時，設M（0，m），
則點G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，0）代入y=-x²+4得到，m=3或0（舍棄），
∴點M坐標（0，3），
∵△QAB是等邊三角形，
∴MQ∥x軸，
在RT△PQM中，∵∠PMQ=90°，PM=1，PQ=$\sqrt{3}$，
∴MQ=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴點Q坐標（$\sqrt{2}$，3），
設直線PQ為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{\sqrt{2}k+b=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線PQ為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+4，
∴點C坐標（4$\sqrt{2}$，0），
∵點G坐標（$\sqrt{3}$，0），
∴點B坐標（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，0），
∴BC=4$\sqrt{2}$-（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．
故答案為3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查拋物線與x軸交點問題、等邊三角形的性質、一次函數(shù)等知識，解題的關鍵是將拋物線y=-x²+4向下平移，頂點為M，與x軸的交點為N、G，當△MNG是等邊三角形時，求出點M坐標這個突破口，屬于中考�？碱}型．