Question

2．我們知道平方運算和開方運算是互逆運算，如：a²±2ab+b²=（a±b）²，那么$\sqrt{{a}^{2}±2ab+^{2}}$=|a±b|，那么如何將雙重二次根式$\sqrt{a±2\sqrt}$（a＞0，b＞0，a±2$\sqrt$＞0）化簡呢？如能找到兩個數(shù)m，n（m＞0，n＞0），使得（$\sqrt{m}$）²+（$\sqrt{n}$）²=a即m+n=a，且使$\sqrt{m}$$•\sqrt{n}$=$\sqrt$即m•n=b，那么$\sqrt{a±2\sqrt}$=|$\sqrt{m}$±$\sqrt{n}$|，雙重二次根式得以化簡；
例如化簡：$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$；
∵3=1+2且2=1×2，
∴3+2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{1}$）²+（$\sqrt{2}$）²+2$\sqrt{1}$×$\sqrt{2}$
∴$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=1+$\sqrt{2}$
由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成$\sqrt{a±2\sqrt}$的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n=a，且m•n=b，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：
（1）填空：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；$\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$；
（2）化簡：①$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$   ②$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$
（3）計算：$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 （1）把被開方數(shù)利用完全平方公式變形為完全平方式，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡；
（2）利用二次根式的性質(zhì)變形得到$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$=$\sqrt{9+2\sqrt{18}}$；$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$=$\sqrt{16-2\sqrt{60}}$，然后與（1）的方法一樣化簡即可；
（3）先變形得到$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$+$\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$，然后與（1）的方法一樣化簡即可．

解答 解：（1）填空：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
$\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$；
（2）①$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$=$\sqrt{9+2\sqrt{18}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$；
②$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$=$\sqrt{16-2\sqrt{60}}$=$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$；
（3）$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$+$\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$
=$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$．
故答案為$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．