Question

13．如圖，△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于D，E，BE=4CE，AD=$\sqrt{10}$．
（1）求證：AD=CD；
（2）求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）連接BD，根據圓周角定理可得∠ADB=90°，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AD=CD；
（2）連接AE，首先證明△AEC∽△BDC，可得$\frac{AC}{EC}$=$\frac{BC}{CD}$，再求出AC長，根據BE=4CE，設CE=x，則BE=4x，BC=5x，然后代入比例式可得x的值，進而可得BC長，然后利用勾股定理計算出BD長，再求面積即可．

解答 （1）證明：連接BD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵BA=BC，
∴AD=CD；

（2）解：連接AE，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEC=90°，
∴△AEC∽△BDC，
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{BC}{CD}$，
∵AD=$\sqrt{10}$，
∴CD=$\sqrt{10}$，
∵BE=4CE，
∴設CE=x，則BE=4x，
∴BC=5x，
∴$\frac{2\sqrt{10}}{x}$=$\frac{5x}{\sqrt{10}}$，
解得：x=2或-2，
x=-2不合題意，舍去，
∴EC=2，
∴BC=10，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{10}$×3$\sqrt{10}$=30．

點評 此題主要考查了圓周角定理和相似三角形的判定和性質，關鍵是掌握直徑所對的圓周角為直角．