Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
（1）在△ABC內(nèi)放入正方形紙片DEFG，使邊EF在斜邊AB上，點(diǎn)D、G分別在AC、BC上．則正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{120}{37}$；
（2）類似第（1）小題，使正方形紙片一條邊都在AB上，若在△ABC內(nèi)并排（不重疊）放入兩個(gè)小正方形，且只能放入兩個(gè)，試確定小正方形邊長(zhǎng)的范圍；
（3）在△ABC內(nèi)并排放入（不重疊）邊長(zhǎng)為1的小正方形紙片，第一層小紙片的一條邊都在AB上，首尾兩個(gè)正方形各有一個(gè)頂點(diǎn)分別在AC、BC上，依次這樣擺放上去，則最多能擺放16個(gè)小正方形紙片．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥AB于H，交DG于P，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出CH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出兩個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別在AC、BC上時(shí)，x的值即可；
（3）根據(jù)題意、結(jié)合圖形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別計(jì)算即可．

解答 解：（1）作CH⊥AB于H，交DG于P，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴CH=$\frac{\frac{1}{2}AC×BC}{\frac{1}{2}×AB}$=4.8，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DG∥AB，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{CP}{CH}$，即$\frac{DG}{10}$=$\frac{4.8-DG}{4.8}$，
解得，DG=$\frac{120}{37}$，
故答案為：$\frac{120}{37}$；
（2）如圖2，當(dāng)兩個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別在AC、BC上時(shí)，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，
由（1）得，$\frac{2x}{10}$=$\frac{4.8-x}{4.8}$，
解得，x=$\frac{120}{49}$，
則小正方形邊長(zhǎng)x的范圍是x≤$\frac{120}{49}$；
（3）如圖3，當(dāng)DE=1時(shí)，
由（1）得，$\frac{DG}{10}$=$\frac{4.8-1}{4.8}$，
解得，DG=$\frac{95}{12}$，
則一條邊都在AB上正方形的個(gè)數(shù)是7，
當(dāng)PQ=2時(shí)，$\frac{PR}{10}$=$\frac{4.8-2}{4.8}$，
解得，PR=$\frac{35}{6}$，
則第二層正方形的個(gè)數(shù)是5，
同理，第三層正方形的個(gè)數(shù)是3，第④層正方形的個(gè)數(shù)是1，
則最多能擺放7+5+3+1=16個(gè)小正方形紙片．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是需要對(duì)正方形的性質(zhì)、直角三角形的勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)熟練地掌握．