Question

13．已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（m-2，0）和B（2m+1，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸為l：x=1．
（1）求拋物線解析式．
（2）直線y=kx+2（k≠0）與拋物線相交于兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂），當(dāng)|x₁-x₂|最小時(shí)，求拋物線與直線的交點(diǎn)M與N的坐標(biāo)．
（3）首尾順次連接點(diǎn)O、B、P、C構(gòu)成多邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，若線段OB在x軸上移動(dòng)，求L最小值時(shí)點(diǎn)O，B移動(dòng)后的坐標(biāo)及L的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸公式求出b的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出c的值，從而求出二次函數(shù)解析式；
（2）將一次函數(shù)與二次函數(shù)組成方程組，得到一元二次方程x²+（k-2）x-1=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值，進(jìn)而求出M（-1，0），N（1，4）；
（3）O，B，P，C構(gòu)成多邊形的周長(zhǎng)L=OB+BP+PC+CO，根據(jù)線段OB平移過程中，OB、PC長(zhǎng)度不變，得到要使L最小，只需BP+CO最短，作點(diǎn)P關(guān)于x軸（或OB）對(duì)稱點(diǎn)P′（1，-4），
連接C′P′與x軸交于點(diǎn)B′，然后根據(jù)平移知識(shí)和勾股定理解答．

解答 解：（1）由已知對(duì)稱軸為x=1，得-$\frac{2×（-1）}$=1，
∴b=2，
拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（m-2，0）和B（2m+1，0），
即-x²+2x+c=0的解為m-2和2m+1，
（m-2）+（2m+1）=2，
3m=3，
m=1，
將m=1代入（m-2）（2m+1）=-c得，
（1-2）（2+1）=-c，
∴c=3，
∴m=1，c=3，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ y=-{x}^{2}+2x+3\end{array}\right.$，
∴x²+（k-2）x-1=0，
x₁+x₂=-（k-2），x₁x₂=-1，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（k-2）²+4，
∴當(dāng)k=2時(shí)，（x₁-x₂）²的最小值為4，即|x₁-x₂|的最小值為2，
∴x²-1=0，由x₁＜x₂可得x₁=-1，x₂=1，即y₁=4，y₂=0，
∴當(dāng)|x₁-x₂|最小時(shí)，拋物線與直線的交點(diǎn)為M（-1，0），N（1，4）；

（3）O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3），
O，B，P，C構(gòu)成多邊形的周長(zhǎng)L=OB+BP+PC+CO，
∵線段OB平移過程中，OB、PC長(zhǎng)度不變，
∴要使L最小，只需BP+CO最短，
如圖，平移線段OC到BC′，四邊形OBC′C是矩形，
∴C′（3，3），
作點(diǎn)P關(guān)于x軸（或OB）對(duì)稱點(diǎn)P′（1，-4），
連接C′P′與x軸交于點(diǎn)B′，
設(shè)C′P′解析式為y=ax+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+n=-4\\ 3a+n=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{2}\\ n=-\frac{15}{2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{7}{2}$x-$\frac{15}{2}$，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{15}{7}$，
∴B′（$\frac{15}{7}$，0），
又3-$\frac{15}{7}$=$\frac{6}{7}$，
故點(diǎn)B向左平移$\frac{6}{7}$，平移到B′，
同時(shí)，點(diǎn)O向左平移$\frac{6}{7}$，平移到0′（-$\frac{6}{7}$，0）．
即線段OB向左平移$\frac{6}{7}$時(shí)，周長(zhǎng)L最短，
此時(shí)，線段BP，CO之和最短為P′C′=$\sqrt{{7}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{53}$，O′B′=OB=3，CP=$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)線段OB向左平移$\frac{6}{7}$，即點(diǎn)O平移到O′（-$\frac{6}{7}$，0），點(diǎn)B平移到B′（$\frac{15}{7}$，0）時(shí)，周長(zhǎng)L最短為$\sqrt{53}$+$\sqrt{2}$+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)與方程的關(guān)系、最短路徑問題等，綜合性強(qiáng)，值得關(guān)注．