Question

18．在直角坐標(biāo)系中，我們不妨將橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”．
（1）求函數(shù)y=$\sqrt{3}$x+2的圖象上所有“中國結(jié)”的坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”，試求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國結(jié)”的坐標(biāo)；
（3）若二次函數(shù)y=（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k（k為常數(shù)）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結(jié)”，試問該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結(jié)”？

Answer 1

分析 （1）因為x是整數(shù)，x≠0時，$\sqrt{3}$x是一個無理數(shù)，所以x≠0時，$\sqrt{3}$x+2不是整數(shù)，所以x=0，y=2，據(jù)此求出函數(shù)y=$\sqrt{3}$x+2的圖象上所有“中國結(jié)”的坐標(biāo)即可．
（2）首先判斷出當(dāng)k=1時，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：（1，1）、（-1、-1）；然后判斷出當(dāng)k≠1時，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上最少有4個“中國結(jié)”，據(jù)此求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國結(jié)”的坐標(biāo)即可．
（3）首先令（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k=0，則[（k-1）x+k][（k-2）x+（k-1）]=0，求出x₁、x₂的值是多少；然后根據(jù)x₁、x₂的值是整數(shù)，求出k的值是多少；最后根據(jù)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”，判斷出該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結(jié)”即可．

解答 解：（1）∵x是整數(shù)，x≠0時，$\sqrt{3}$x是一個無理數(shù)，
∴x≠0時，$\sqrt{3}$x+2不是整數(shù)，
∴x=0，y=2，
即函數(shù)y=$\sqrt{3}$x+2的圖象上“中國結(jié)”的坐標(biāo)是（0，2）．

（2）①當(dāng)k=1時，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：
（1，1）、（-1、-1）；
②當(dāng)k=-1時，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：
（1，-1）、（-1，1）．
③當(dāng)k≠±1時，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上最少有4個“中國結(jié)”：
（1，k）、（-1，-k）、（k，1）、（-k，-1），這與函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”矛盾，
綜上可得，k=1時，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：（1，1）、（-1、-1）；
k=-1時，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：（1，-1）、（-1、1）．

（3）令（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k=0，
則[（k-1）x+k][（k-2）x+（k-1）]=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{k}{1-k}}\\{{x}_{2}=\frac{k-1}{2-k}}\end{array}\right.$
∴k=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+1}=\frac{{2x}_{2}+1}{{x}_{2}+1}$，
整理，可得
x₁x₂+2x₂+1=0，
∴x₂（x₁+2）=-1，
∵x₁、x₂都是整數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{x}_{1}+2=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{x}_{1}+2=1}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3}\\{{x}_{2}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{x}_{2}=-1}\end{array}\right.$
①當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3}\\{{x}_{2}=1}\end{array}\right.$時，
∵$\frac{k-1}{2-k}=1$，
∴k=$\frac{3}{2}$；
②當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{x}_{2}=-1}\end{array}\right.$時，
∵$\frac{k}{1-k}=-1$，
∴k=k-1，無解；
綜上，可得
k=$\frac{3}{2}$，x₁=-3，x₂=1，
y=（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k
=[${（\frac{3}{2}）}^{\;}$²-3×$\frac{3}{2}$+2]x²+[2×（$\frac{3}{2}$）²-4×$\frac{3}{2}$+1]x+（$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{2}$
=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x$+\frac{3}{4}$
①當(dāng)x=-2時，
y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x$+\frac{3}{4}$
=$-\frac{1}{4}$×（-2）²$-\frac{1}{2}$×（-2）+$\frac{3}{4}$
=$\frac{3}{4}$
②當(dāng)x=-1時，
y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x$+\frac{3}{4}$
=$-\frac{1}{4}$×（-1）²$-\frac{1}{2}$×（-1）+$\frac{3}{4}$
=1
③當(dāng)x=0時，y=$\frac{3}{4}$，
另外，該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中x軸上的“中國結(jié)”有3個：
（-2，0）、（-1、0）、（0，0）．
綜上，可得
若二次函數(shù)y=（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k（k為常數(shù)）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結(jié)”，
該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有6個“中國結(jié)”：（-3，0）、（-2，0）、（-1，0）（-1，1）、（0，0）、（1，0）．

點評 （1）此題主要考查了反比例函數(shù)問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
（2）此題還考查了對新定義“中國結(jié)”的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”．